cwiki.cz

Besselova funkce



Besselova funkce je řešení Besselovy rovnice

\({\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+(z^{2}-\nu ^{2})w(z)=0}\)

pro libovolné reálné číslo \({\displaystyle \nu }\), které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce je pojmenována na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který ji poprvé popsal.

Obsah


Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li \({\displaystyle \nu }\) celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

\({\displaystyle w(z)=c_{1}J_{\nu }(z)+c_{2}J_{-\nu }(z)}\),

kde \({\displaystyle J_{\nu }(z)}\) a \({\displaystyle J_{-\nu }(z)}\) jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a \({\displaystyle c_{1},c_{2}}\) jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu \({\displaystyle \nu }\) je definována vztahem

\({\displaystyle J_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}\),

kde \({\displaystyle \Gamma (x)}\) je gama funkce.

Je-li \({\displaystyle \nu =n}\) celé číslo, pak platí

\({\displaystyle J_{-n}(z)={(-1)}^{n}J_{n}(z)}\),

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro \({\displaystyle n=0,1,2,...}\) lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

\({\displaystyle J_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\cos(z\sin \theta -n\theta )\mathrm {d} \theta }\)

Platí následující rekurentní vztahy

\({\displaystyle 2\nu J_{\nu }(z)=zJ_{\nu -1}(z)+zJ_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle 2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-zJ_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle zJ_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+zJ_{\nu -1}(z)}\)

Neumannova funkce

Je-li \({\displaystyle \nu =n}\) celé číslo, pak \({\displaystyle J_{n}(z)}\) a \({\displaystyle J_{-n}(z)}\) nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

\({\displaystyle w(z)=c_{1}J_{n}(z)+c_{2}N_{n}(z)}\),

kde \({\displaystyle N_{n}(z)}\) je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná \({\displaystyle \nu =n}\) definovány vztahem

\({\displaystyle N_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}\)

Pro \({\displaystyle \nu }\) různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

\({\displaystyle N_{\nu }(z)={\frac {J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}\)

Je-li \({\displaystyle \nu =n}\) celé číslo, pak platí

\({\displaystyle N_{-n}(z)={(-1)}^{n}N_{n}(z)}\)

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

\({\displaystyle J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-{\frac {2}{\pi z}}}\)

Platí následující rekurentní vztahy

\({\displaystyle 2\nu N_{\nu }(z)=zN_{\nu -1}(z)+zN_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle 2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-zN_{\nu +1}(z)}\)
\({\displaystyle zN_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+zN_{\nu -1}(z)}\)

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce \({\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)}\) a \({\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)}\), které jsou definovány jako

\({\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm {i} N_{\nu }(z)}\)
\({\displaystyle H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm {i} N_{\nu }(z)}\)

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.


Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

\({\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+2z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}+\left[z^{2}-l(l+1)\right]w(z)=0}\)

pro celá nezáporná \({\displaystyle l}\).

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

\({\displaystyle j_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{l+{\frac {1}{2}}}(z)}\)

a sférickou Neumannovu funkci

\({\displaystyle n_{l}(z)={\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}N_{l+{\frac {1}{2}}}(z)={(-1)}^{l+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2z}}}J_{-l-{\frac {1}{2}}}(z)}\),

kde \({\displaystyle J_{n}}\) jsou Besselovy funkce a \({\displaystyle N_{n}}\) jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

\({\displaystyle j_{l}(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_{l}(z)=-z^{-2}}\)

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

\({\displaystyle h_{l}^{(1)}(z)=j_{l}(z)+\mathrm {i} n_{l}(z)}\)
\({\displaystyle h_{l}^{(2)}(z)=j_{l}(z)-\mathrm {i} n_{l}(z)}\)

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

\({\displaystyle j_{l}(z)={(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\sin z}{z}}}\)
\({\displaystyle n_{l}(z)=-{(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\cos z}{z}}}\)
\({\displaystyle h_{l}^{(1)}(z)=-\mathrm {i} {(-z)}^{l}{\left({\frac {\mathrm {d} }{z\mathrm {d} z}}\right)}^{l}{\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} z}}{z}}}\)

Lze ukázat, že platí

\({\displaystyle j_{l}(-z)={(-1)}^{l}j_{l}(z)}\)
\({\displaystyle n_{l}(-z)={(-1)}^{l+1}n_{l}(z)}\)
\({\displaystyle h_{l}^{(1)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(2)}(z)}\)
\({\displaystyle h_{l}^{(2)}(-z)={(-1)}^{l}h_{l}^{(1)}(z)}\)

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

\({\displaystyle z^{2}{\frac {\mathrm {d} ^{2}w(z)}{\mathrm {d} z^{2}}}+z{\frac {\mathrm {d} w(z)}{\mathrm {d} z}}-(z^{2}+\nu ^{2})w(z)=0}\)

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li \({\displaystyle \nu }\) celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

\({\displaystyle w(z)=c_{1}I_{\nu }(z)+c_{2}I_{-\nu }(z)}\),

kde \({\displaystyle I_{\nu }(z)}\) je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

\({\displaystyle I_{\nu }(z)={\left({\frac {z}{2}}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{{K!}\Gamma (\nu +k+1)}}{\left({\frac {z}{2}}\right)}^{2k}}\)

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

\({\displaystyle I_{\nu }(z)=\mathrm {i} ^{-\nu }J_{\nu }(\mathrm {i} z)}\)

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá \({\displaystyle \nu =n}\) platí

\({\displaystyle I_{-n}(z)=I_{n}(z)}\)

Pro celá \({\displaystyle n}\) tedy nejsou \({\displaystyle I_{n}(z)}\) a \({\displaystyle I_{-n}(z)}\) lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

\({\displaystyle w(z)=c_{1}I_{n}(z)+c_{2}K_{n}(z)}\),

kde \({\displaystyle K_{n}(z)}\) je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé \({\displaystyle \nu }\) je definováno

\({\displaystyle K_{\nu }(z)={\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}\)

Pro celá \({\displaystyle \nu =n}\) pak platí

\({\displaystyle K_{n}(z)=\lim _{\nu \to n}{\frac {\pi }{2}}{\frac {I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }}}\)

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem Besselovy funkce je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články


Externí odkazy


Literatura

  • Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. ISBN 80-7196-179-5




Zdroj


Poslední aktualizace: 21.11.2021 04:22:33 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.