cwiki.cz

Jehlan



Jehlan je trojrozměrné těleso. Jeho základnu (nebo také podstavu) tvoří mnohoúhelník. Vrcholy základny jsou spojeny s jedním bodem mimo rovinu základny – tento bod se obvykle nazývá (hlavní) vrchol jehlanu.

Jehlan

Kolmá vzdálenost vrcholu od roviny podstavy se nazývá výška jehlanu.

Obsah


Obecné vlastnosti

Objem a povrch

Objem jehlanu se vypočítá jako

\({\displaystyle V={\frac {S_{p}.v}{3}}\,\!}\),

kde \({\displaystyle S_{p}\,\!}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle v\,\!}\) výška.

Povrch jehlanu se vypočítává jako součet obsahu základny a obsahu jednotlivých trojúhelníkových stěn - jejich počet je dán počtem stran základny.

\({\displaystyle S=P+Q\,}\),

kde \({\displaystyle P}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle Q}\) je obsah pláště.

Na výše uvedených vzorcích je zajímavé, že pokud budu vrchol jehlanu posunovat v rovině rovnoběžné s rovinou základny, nemění se objem (obsah podstavy i výška zůstávají stejné), ale pouze povrch - ten může při posouvání vrcholu „dostatečně daleko“ v dané rovině růst nad všechny meze.

Souměrnost

Jehlan nemůže nikdy být středově souměrný.

Jehlan je osově souměrný pouze tehdy, je-li základna středově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny je shodný se středem souměrnosti základny (laičtěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad středem souměrnosti základny“.). Osou souměrnosti je v takovém případě spojnice vrcholu se středem souměrnosti základny.

Jehlan může být rovinově souměrný pouze tehdy, je-li základna osově souměrná a průmět vrcholu jehlanu do roviny základny leží na ose souměrnosti základny. (Lidštěji: vrchol jehlanu musí ležet „kolmo nad osou souměrnosti základny“.) Rovinou souměrnosti je v takovém případě rovina určená osou souměrnosti základny a vrcholem jehlanu.

Další vlastnosti

Pokud tvoří základnu jehlanu mnohoúhelník o \({\displaystyle n\,\!}\) stranách, má jehlan:

  • celkem \({\displaystyle n+1\,\!}\) vrcholů
  • celkem \({\displaystyle 2\cdot n\,\!}\) hran
  • celkem \({\displaystyle n+1\,\!}\) stěn

Jehlan nemá tělesové úhlopříčky, stěnové mohou být jen v základně (pro n větší než 3). Jehlan je konvexní jen tehdy, je-li konvexní jeho základna.


Speciální případy

Pokud kolmice k podstavě procházející vrcholem protíná podstavu v jejím těžišti, nazýváme takový jehlan kolmý. Pokud tomu tak není, nazýváme jej kosý.

Pokud je základnou jehlanu pravidelný mnohoúhelník a vrchol leží kolmo nad těžištěm základny, mluvíme o pravidelném jehlanu. „Pravidelnost“ jehlanu obvykle podstatně zjednodušuje výpočet jeho objemu a povrchu.

Výpočet údajů v pravidelném \({\displaystyle n}\)-bokém jehlanu určeném délkou podstavné hrany \({\displaystyle a}\)a jeho výškou \({\displaystyle v}\):

Pravidelný kolmý jehlan


  • Výška boční stěny:

\({\displaystyle v_{s}={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left(a\cdot {\cot {\frac {\pi }{n}}}\right)^{2}}}}\)

  • Délka boční hrany:

\({\displaystyle s={\frac {1}{2}}{\sqrt {4v^{2}+\left({\frac {a}{\sin {\frac {\pi }{n}}}}\right)^{2}}}}\)

  • Povrch:

\({\displaystyle S={\frac {1}{4}}na^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}\left(1+{\sqrt {1+4\left({\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)^{2}}}\right)}\)

  • Objem:

\({\displaystyle V={\frac {1}{12}}na^{2}v\cdot \cot {\frac {\pi }{n}}}\)

  • Sklon boční hrany:

\({\displaystyle \alpha =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\sin {\frac {\pi }{n}}\right)}\)

  • Sklon boční stěny:

\({\displaystyle \beta =\arctan \left(2{\frac {v}{a}}\tan {\frac {\pi }{n}}\right)}\)

  • Odchylka bočních hran:

\({\displaystyle \gamma =2\arctan {\frac {a}{\sqrt {4v^{2}+a^{2}\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}}\)

  • Odchylka boční a podstavné hrany:

\({\displaystyle \delta =\arctan {\sqrt {4\left({\frac {v}{a}}\right)^{2}+\cot ^{2}{\frac {\pi }{n}}}}}\)

  • Odchylka bočních stěn:

\({\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {4v^{2}\sin ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}{4v^{2}\tan ^{2}{\frac {\pi }{n}}+a^{2}}}}}\), speciálně pro \({\displaystyle n=4}\) je \({\displaystyle \varepsilon =2\arcsin {\sqrt {\frac {2v^{2}+a^{2}}{4v^{2}+a^{2}}}}}\)

Pravidelný čtyřstěn

Pravidelný čtyřstěn.

Pravidelný čtyřstěn je jehlan, jehož základnu i všechny tři boční stěny jsou rovnostranné trojúhelníky. Tento čtyřstěn má stejný tvar všech stěn i délku všech hran - jedná se tedy o jedno z platónských těles.

Jeho objem \({\displaystyle V\,\!}\) a obsah \({\displaystyle S\,\!}\) lze vypočítat z délky jeho hrany:

  • \({\displaystyle S=a^{2}{\sqrt {3}}\,\!}\)
  • \({\displaystyle V={\begin{matrix}{{\sqrt {2}} \over 12}\end{matrix}}a^{3}\,\!}\)

Jeho výšku lze vypočítat jako \({\displaystyle v=(a/3){\sqrt {6}}}\) .

Pravidelný čtyřboký jehlan

Pravidelný čtyřboký jehlan a jeho rozvinutý povrch.

Pokud má jehlan čtvercovou základnu a vrchol kolmo nad průsečíkem úhlopříček základny, hovoříme o pravidelném čtyřbokém jehlanu.

Jeho objem \({\displaystyle V\,\!}\) a povrch \({\displaystyle S\,\!}\) lze vypočítat z délky strany základny \({\displaystyle a\,\!}\) a výšky \({\displaystyle v\,\!}\):

  • \({\displaystyle V={\frac {1}{3}}a^{2}v\,\!}\)
  • \({\displaystyle S=a\left(a+{\sqrt {4v^{2}+a^{2}}}\right)}\)
Vícerozměrná geometrická tělesa
d=2 trojúhelník čtverec šestiúhelník pětiúhelník
d=3 jehlan krychle, oktaedr krychloktaedr, kosočtverečný dvanáctistěn dvanáctistěn, dvacetistěn
d=4 5nadstěn teserakt, 16nadstěn 24nadstěn 120nadstěn,600nadstěn
d=5 5simplex penterakt, 5ortoplex
d=6 6simplex hexerakt, 6ortoplex
d=7 7simplex hepterakt, 7ortoplex
d=8 8simplex okterakt, 8ortoplex
d=9 9simplex ennerakt, 9ortoplex
d=10 10simplex dekerakt, 10ortoplex
d=11 11simplex hendekerakt, 11ortoplex
d=12 12simplex dodekerakt, 12ortoplex
d=13 13simplex triskaidekerakt, 13ortoplex
d=14 14simplex tetradekerakt, 14ortoplex
d=15 15simplex pentadekerakt, 15ortoplex
d=16 16simplex hexadekerakt, 16ortoplex
d=17 17simplex heptadekerakt, 17ortoplex
d=18 18simplex oktadekerakt, 18ortoplex
d=19 19simplex ennedekerakt, 19ortoplex
d=20 20simplex ikosarakt, 20ortoplex

Literatura

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 104-106
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 117-120

Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 09:11:39 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.