cwiki.cz

Kinetická energie



Kinetická energie (též pohybová energie) je jeden z druhů mechanické energie, kterou má pohybující se těleso. Je to tedy práce, kterou musíme vykonat, abychom urychlili těleso na určitou rychlost. Velikost kinetické energie tělesa, vykonávajícího posuvný pohyb závisí na jeho hmotnosti a rychlosti. Vykonává-li těleso rotační pohyb, závisí jeho energie na úhlové rychlosti a momentu setrvačnosti. Je-li těleso v klidu, má nulovou kinetickou energii. Protože pohyb těles je relativní, záleží hodnota energie na tom, z jaké vztažné soustavy těleso pozorujeme.

Vozíky horské dráhy dosáhnou svou maximální kinetickou energii, když sjedou z vrcholu dolů. Tato kinetická energie se začne opětovným stoupáním do dalšího vrcholku měnit na energii potenciální. Ta se mění dalším sjezdem dolů opět na energii kinetickou.

Obsah


Značení


Newtonovská (klasická) kinetická energie

Kinetická energie v klasické mechanice je definována ve tvaru

\({\displaystyle E_{k}={\frac {1}{2}}m.v^{2}}\)

Odvození vztahu

Uvažujme hmotný bod o hmotnosti \({\displaystyle m}\), na který působí síla \({\displaystyle \mathbf {F} }\), pak pohybová rovnice jde zapsat v následujícím tvaru

\({\displaystyle \mathbf {F} =m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}\),

kde \({\displaystyle \mathbf {v} }\) je rychlost uvažovaného hmotného bodu v čase \({\displaystyle t}\) (okamžitá rychlost). Tuto pohybovou rovnici skalárně vynásobíme rychlostí \({\displaystyle \mathbf {v} }\) hmotného bodu (na sílu \({\displaystyle \mathbf {F} }\) neklademe žádná omezení), čímž dostaneme

\({\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} =m\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}\).

Jelikož platí, že

\({\displaystyle m\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}m\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} \right)={\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)}\),

lze předchozí rovnici upravit

\({\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}mv^{2}\right)={\frac {dE_{k}}{dt}}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} }\),

kde \({\displaystyle E_{k}}\) je kinetická energie hmotného bodu.

Protože pro element práce platí \({\displaystyle dW=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }\), pak z předchozí rovnosti vyplývá

\({\displaystyle dE_{k}=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =dW}\),

a odtud integrací dostáváme

\({\displaystyle \Delta E_{k}=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =W}\).

Alternativně lze kinetickou energii také vyjádřit pomocí hybnosti \({\displaystyle \mathbf {p} =m\mathbf {v} }\)

\({\displaystyle E_{k}={\frac {\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} }{2m}}={\frac {p^{2}}{2m}}}\).

Speciální teorie relativity

V rámci speciální teorie relativity lze získat přesnější vztah

\({\displaystyle E_{k}=mc^{2}-m_{0}c^{2}=\left({{1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}-1}\right)m_{0}c^{2}\,}\),

kde m je hmotnost tělesa v pohybu, m0 je klidová hmotnost, v je rychlost tělesa a c je rychlost světla. První člen v závorce je tzv. Lorentzův faktor.

Tento vzorec lze pomocí Taylorova rozvoje přepsat do tvaru nekonečné řady

\({\displaystyle E_{k}={1 \over 2}m_{0}v^{2}+{3 \over 8}m_{0}v^{2}\left({v \over c}\right)^{2}+{5 \over 16}m_{0}v^{2}\left({v \over c}\right)^{4}+\dots \,,}\)

z níž je vidět, že při rychlostech mnohem menších než c je významný jen první člen a platí newtonovský vzorec.


Vlastnosti

  • Kinetická energie nemůže být nikdy záporná.
  • Kinetická energie nezávisí na směru pohybu, ale pouze na velikosti rychlosti.
  • Kinetická energie je závislá na volbě vztažné soustavy, protože na této volbě závisí také rychlost tělesa.
  • Celková kinetická energie soustavy hmotných bodů je dána součtem kinetických energií jednotlivých hmotných bodů.

Příklad

Uvažujme izolovanou soustavu, pak platí zákon zákon zachování mechanické energie, který lze formulovat ve tvaru

\({\displaystyle {\frac {dE}{dt}}={\frac {d(E_{k}+E_{p})}{dt}}=0}\),

který nám říká, že se kinetická energie v izolované soustavě mění na energii potenciální a naopak. Zaměříme-li se na homogenní tíhové pole Země (lze ho považovat za homogenní pro malé vzdálenosti od povrchu), pak tuto přeměnu lze jednoduše ilustrovat například na volném pádu z výšky \({\displaystyle h}\).

\({\displaystyle {\frac {1}{2}}mv(t_{0})^{2}+mgh(t_{0})={\frac {1}{2}}mv(t_{d})^{2}+mg(t_{d})\implies v={\sqrt {2gh(t_{0})}}}\),

kde \({\displaystyle t_{0}}\) je počáteční čas, ve kterém má těleso ve výšce \({\displaystyle h}\) nulovou rychlost, a \({\displaystyle t_{d}}\) je čas dopadu. Výsledek lze jednoduše ověřit přímým výpočtem úlohy volného pádu. Nejdříve určíme čas dopadu

\({\displaystyle h-{\frac {1}{2}}gt_{d}^{2}=0\implies t_{d}={\sqrt {\frac {2h}{g}}}}\),

čímž dosazením za rychlost dostáváme výsledek, který je v souladu se zákonem zachování energie

\({\displaystyle v(t_{d})=g{\sqrt {\frac {2h}{g}}}={\sqrt {2gh}}}\).

Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 12:25:06 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.