cwiki.cz

Kužel



Další významy jsou uvedeny na stránce Kužel (rozcestník).

Kužel je oblé těleso, které vznikne jako průnik kuželového prostoru a rovinné vrstvy.

Obecný kužel.
Rotační kužel (vlevo) a kosý kužel (vpravo).

Část kuželové plochy, která tvoří povrch kužele, se označuje jako plášť kužele. Řez kuželového prostoru hraniční rovinou vrstvy se nazývá podstava. Plášť kužele a podstava se nazývají společným názvem povrch kužele. Bod, ve kterém se rovinný řez kužele redukuje na bod, se označuje jako vrchol kužele. Kolmá vzdálenost mezi podstavou a vrcholem se nazývá výška kužele. Vzdálenost mezi vrcholem a podstavou podél pláště je strana kužele.

Je-li podstavou kužele kruh, pak se kužel nazývá kruhový. Pokud kolmice spuštěná z vrcholu na rovinu podstavy prochází středem podstavy kruhového kužele, pak jde o rotační kužel nebo kolmý kruhový kužel. Pokud kruhový kužel není kolmý, pak se označuje jako kosý.

Obsah


Kuželová plocha a prostor

Kuželový prostor

Mějme jednoduchou uzavřenou křivku \({\displaystyle k}\), která leží v rovině. Body, které leží na přímkách procházejících libovolným bodem křivky \({\displaystyle k}\) a bodem \({\displaystyle V}\) ležícím mimo rovinu křivky \({\displaystyle k}\), tvoří kuželovou plochu. Část prostoru ohraničená kuželovou plochou se nazývá kuželový prostor.

Kuželová plocha je množina bodů v prostoru, která vznikne z kužele tím, že odstraníme podstavu a každou úsečku pláště (tj. spojnici vrcholu kužele s bodem hranice podstavy) prodloužíme na přímku. Nejlepší představa je taková, že se jedná o dva středově souměrné (podle vrcholu kužele) kornouty jdoucí do nekonečna.

Rovnice

Kuželová plocha (kvadratický kužel) s vrcholem v počátku, která v rovině \({\displaystyle z=c}\) prochází elipsou \({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}\) (tzv. řídící křivka), má rovnici

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=0}\)

Přímky, které tvoří povrch kužele, se nazývají tvořící přímky.

Tato plocha je asymptotickou plochou (asymptotickým kuželem) hyperboloidů

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=\pm 1}\)

Pro \({\displaystyle a=b}\) jde o rotační kužel s osou rotace \({\displaystyle z}\).

Kuželovou plochu s vrcholem v bodě \({\displaystyle [x_{0},y_{0},z_{0}]}\) je vždy možné vyjádřit rovnicí

\({\displaystyle F\left({\frac {x-x_{0}}{z-z_{0}}},{\frac {y-y_{0}}{z-z_{0}}}\right)=0}\)

Vlastnosti

Pro objem kužele platí

\({\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot S_{p}\cdot v}\),

kde \({\displaystyle S_{p}}\) je obsah podstavy a \({\displaystyle v}\) je výška kužele.


Rotační kužel

Rotační kužel

Rotační kužel je rotační těleso vzniklé otáčením pravoúhlého trojúhelníku v prostoru okolo jedné z odvěsen. Otáčením druhé odvěsny vznikne kruhová podstava kužele (někdy také nazývaná jako základna kužele), otáčením přepony pak kuželová plocha nebo jinak plášť kužele. Tento plášť je v podstatě „stočená“ kruhová výseč, jejíž úhel závisí na poměru výšky kužele a poloměru podstavy. Společný vrchol přepony a osy otáčení nazýváme vrchol kužele.

Vlastnosti

Označíme-li \({\displaystyle r}\) poloměr kruhové podstavy kužele a \({\displaystyle h}\) výšku kužele (tj. vzdálenost vrcholu kužele od základny), pak lze vypočítat:

  • poloměr pláště (tj. vzdálenost vrcholu kužele od hraniční kružnice podstavy neboli délku strany pláště) pomocí Pythagorovy věty jako
\({\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\,\!}\)
\({\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}}\,\!}\)
  • povrch kužele jako součet obsahu podstavy \({\displaystyle S_{p}=\pi r^{2}\,\!}\) a obsahu pláště \({\displaystyle S_{pl}=\pi rs\,\!}\)
\({\displaystyle S=S_{p}+S_{pl}=\pi r(r+s)\,\!}\)

Kuželosečky

Související informace naleznete také v článku Kuželosečka.

Z geometrického pohledu jsou zajímavé řezy rotační kuželové plochy, tj. průniky této plochy s nějakou rovinou.

Singulární řezy kužele - pokud rovina řezu prochází vrcholem kužele, mohou nastat tři případy:

  • průnikem je bod (vrchol kužele), pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem je přímka ležící na kuželové ploše, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou
  • průnikem jsou dvě přímky, které se protínají ve vrcholu kužele, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele)

Regulární řezy kužele - pokud rovina řezu neprochází vrcholem kužele, mohou nastat čtyři případy:

  • průnikem je kružnice, pokud je rovina řezu kolmá na osu kužele (obr. B dole)
  • průnikem je elipsa, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, větší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou, ale rovina řezu není kolmá na osu kužele (obr. B nahoře)
  • průnikem je parabola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, rovný úhlu, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (obr. A)
  • průnikem je hyperbola, pokud je úhel, který rovina řezu svírá s osou kužele, menší než úhel, který svírají přímky kuželové plochy s její osou (nebo v případě, kdy je rovina řezu rovnoběžná s osou kužele) (obr. C)

To je důvod, proč jsou elipsa, parabola a hyperbola nazývány souhrnně kuželosečkami.

Kuželosečky


Literatura

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 107-108
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 122-123

Související články


Externí odkazy

  • Slovníkové heslo kužel ve Wikislovníku




Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 07:09:11 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.