cwiki.cz

Mnohoúhelník



Mnohoúhelník (také polygon) je část roviny vymezená úsečkami, které spojují určitý počet bodů (nejméně tři), z nichž žádné tři sousední neleží na jedné přímce. Další možná definice je tato: mnohoúhelník je část roviny omezená uzavřenou lomenou čárou takovou, že žádné tři následující koncové body jejích úseček neleží v jedné přímce.

Obsah


Základní pojmy

Body, které určují mnohoúhelník, se nazývají vrcholy mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují sousední vrcholy, se nazývají strany mnohoúhelníku. Úsečky, které spojují nesousední vrcholy, se nazývají úhlopříčky. Úhly, které svírají sousední strany, se nazývají vnitřní úhly mnohoúhelníka. Počet vrcholů, stran a vnitřních úhlů je v jednom mnohoúhelníku stejný a tento počet určuje název mnohoúhelníku: trojúhelník, čtyřúhelník, pětiúhelník, šestiúhelník… (obecně \({\displaystyle n}\)-úhelník).


Znázornění a zápis

Mnohoúhelník se znázorňuje pomocí jeho vrcholů a stran, označuje se výčtem vrcholů v jejich přesném pořadí. U speciálních mnohoúhelníků (trojúhelník, čtverec, obdélník, …) se v zápise před výčet vrcholů umisťuje příslušný symbol (Δ …). Vrcholy, strany a úhly mnohoúhelníka se zapisují stejným způsobem jako body, úsečky a úhly.

Mnohouhelnik.jpg


Druhy mnohoúhelníků

Kromě mnohoúhelníků lišících se počtem vrcholů (viz Základní pojmy), se mnohoúhelníky dělí na:

  • pravidelné (všechny strany i vnitřní úhly jsou shodné) a nepravidelné,
  • konvexní (všechny vnitřní úhly jsou menší než 180°) a nekonvexní (alespoň jeden vnitřní úhel je větší než 180°),
  • pravoúhelníky (všechny vnitřní úhly jsou pravé, příp. 270°) a nepravoúhelníky (aspoň jeden vnitřní úhel se nerovná pravému úhlu).
  • jednoduché a degenerované (alespoň 2 strany se protínají)

Vlastnosti

  • Obvod mnohoúhelníka \({\displaystyle P}\) se vypočte jako součet délek všech jeho stran:
\({\displaystyle P=a+b+c+...}\), kde \({\displaystyle a,b,c,...}\) jsou jednotlivé strany mnohoúhelníka.
  • Obsah obecného mnohoúhelníka \({\displaystyle S}\) se vypočte pomocí rozložení mnohoúhelníka na vhodné vzájemně se nepřekrývající trojúhelníky, obdélníky nebo čtverce, jejichž obsahy \({\displaystyle S_{1},S_{2},...}\) se vypočítají podle známých vzorců a následně sečtou:
\({\displaystyle S=S_{1}+S_{2}+...}\)
  • Obsah mnohoúhelníka, jehož strany se nekříží, se dá spočítat Gaussovou metodou pro výpočet plochy či prostřednictvím L'Huillierových vzorců
\({\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\sum _{i=1}^{n}(x_{i}y_{i+1}-x_{i+1}y_{i})\right|}\), kde \({\displaystyle (x_{i},y_{i})}\) jsou souřadnice vrcholů mnohoúhelníka, \({\displaystyle x_{n+1}}\) a \({\displaystyle y_{n+1}}\) splývají s \({\displaystyle x_{1}}\) a \({\displaystyle y_{1}}\)
  • Součet vnitřních úhlů mnohoúhelníku je roven
\({\displaystyle \pi (n-2)\;\mathrm {rad} }\)
  • Počet úhlopříček obecného \({\displaystyle n}\)-úhelníku určíme ze vztahu
\({\displaystyle {\frac {1}{2}}n(n-3)}\)
  • Jestli existuje taková kružnice, že na ní leží všechny vrcholy daného mnohoúhelníku, pak říkáme, že je mnohoúhelníku opsaná. Mnohoúhelník, kterému lze opsat kružnici se nazývá tětivový (jeho strany jsou tětivami opsané kružnice).
  • Každý n-úhelník lze vždy rozdělit na (\({\displaystyle n-2}\)) trojúhelníků.

Vlastnosti pravidelného mnohoúhelníku

Podrobnější informace naleznete v článku Pravidelný mnohoúhelník.
  • Velikost vnitřního úhlu pravidelného \({\displaystyle n}\)-úhelníku má hodnotu (v radiánech)
\({\displaystyle \alpha _{n}={\frac {n-2}{n}}\pi }\)
  • Velikost středového, popř. vnějšího úhlu je rovna
\({\displaystyle \alpha _{n}^{\prime }={\frac {2\pi }{n}}}\)
  • Pravidelnému mnohoúhelníku lze opsat i vepsat kružnici. Středy obou kružnic leží ve stejném bodě, který je totožný s těžištěm mnohoúhelníku.
  • Označíme-li délku strany pravidelného \({\displaystyle n}\)-úhelníku jako \({\displaystyle a_{n}}\) a poloměr kružnice opsané jako \({\displaystyle r_{n}}\), pak poloměr \({\displaystyle \rho _{n}}\) kružnice vepsané lze určit ze vztahu
\({\displaystyle \rho _{n}={\sqrt {r_{n}^{2}-(a_{n}/2)^{2}}}}\)
  • Obsah pravidelného \({\displaystyle n}\)-úhelníku lze určit jako
\({\displaystyle S_{n}={\frac {na_{n}\rho _{n}}{2}}=n\rho _{n}^{2}\operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}={\frac {n\cdot a_{n}^{2}}{4\cdot \operatorname {tg} {\frac {\pi }{n}}}}=nr_{n}^{2}\operatorname {sin} {\frac {\pi }{n}}\operatorname {cos} {\frac {\pi }{n}}={\frac {1}{2}}\ nr_{n}^{2}\operatorname {sin} {\frac {2\pi }{n}}}\)
  • Pravidelný \({\displaystyle n}\)-úhelník má \({\displaystyle n}\) os souměrnosti a pro sudé \({\displaystyle n}\) i střed souměrnosti.

Tabulka mnohoúhelníků

Tabulka obsahuje seznam mnohoúhelníků s názvy v češtině a v cizích slovech.
Počet úhlů Cizím slovem v češtině
3 trigon trojúhelník
4 tetragon čtyřúhelník
5 pentagon pětiúhelník
6 hexagon šestiúhelník
7 heptagon sedmiúhelník
8 octagon osmiúhelník
9 nonagon devítiúhelník
10 dekagon desetiúhelník
11 hendecagon jedenáctiúhelník
12 dodecagon dvanáctiúhelník
13 triskaidekagon třináctiúhelník
14 tetradecagon čtrnáctiúhelník
15 pentadecagon patnáctiúhelník
20 icosagon dvacetiúhelník
100 hectogon stoúhelník
1000 chiliagon tisíciúhelník
10000 myriagon desetitisíciúhelník

Literatura

  • Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, ISBN 80-85849-92-5, str. 98
  • Marcela Palková a kolektiv: Průvodce matematikou 2, Didaktis, Brno 2007, ISBN 978-80-7358-083-4, str. 31-33
  • Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, ISBN 978-80-200-1575-4, str. 14-16

Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 12:37:37 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.