cwiki.cz

Mnohostěn



Mnohostěn, také polyedr je trojrozměrné geometrické těleso, jehož povrch se skládá z konečně mnoha stěn tvořených mnohoúhelníky. V moderním smyslu se pojem mnohostěn užívá nejen pro těleso trojrozměrné, ale obecně pro těleso n-rozměrné (speciálním případem n-rozměrného mnohostěnu je n-rozměrný simplex).

Příklad obecného mnohostěnu

Obsah


Obecné vlastnosti

Mnohostěn má povrch skládající se z mnohoúhelníkových stěn, které se setkávají v úsečkami tvořených hranách. Body, ve kterých se setkávají (nejméně 3) hrany, se nazývají vrcholy. Část prostoru ohraničená stěnami se nazývá vnitřek mnohostěnu a bývá obvykle považována za jeho součást.

Mnohostěny jsou označovány podle počtu stěn (4 a více). Existují tak například čtyřstěn (tetraedr), pětistěn (pentaedr), šestistěn (hexaedr), sedmistěn (heptaedr), osmistěn (oktaedr), dvanáctistěn (dodekaedr), dvacetistěn (ikosaedr) atd. Pro některé důležité mnohostěny existuje také samostatné označení, jako jsou například jehlan a krychle.

Eulerova věta

Vztah mezi počtem vrcholů (v), hran (h) a stěn (s) konvexního mnohostěnu udává Eulerova věta

\({\displaystyle v-h+s=2}\).

Význačné mnohostěny

Mnohostěn: a) konvexní, b) nekonvexní
Nepravidelný šestiboký jehlan
Nepravidelný čtyřboký hranol

Za význačné jsou považovány takové mnohostěny, které vynikají nad ostatní buď jistým druhem dokonalosti (například pravidelností) nebo svým historickým významem. Takovéto mnohostěny mají obvykle vlastní jména.

  • Jehlany - mnohostěny tvořené jednou mnohoúhelníkovou stěnou (podstavou), význačným vrcholem (vrchol jehlanu) ležícím mimo podstavu a trojúhelníkovými stěnami tvořenými vždy hranou podstavy a dvěma úsečkami spojujícími koncové body této hrany s význačným vrcholem ležícím mimo podstavu (vrcholem jehlanu).
    • Trojboký jehlan, který má všechny stěny shodné, se nazývá pravidelný čtyřstěn a patří mezi Platónská tělesa.
  • Hranoly - mnohostěny tvořené dvěma shodnými, stejně orientovanými a v různých vzájemně rovnoběžných rovinách ležícími mnohoúhelníkovými stěnami (podstavami) a obecně rovnoběžníkovými stěnami pláště vymezenými dvěma odpovídajícími si hranami na obou podstavách a úsečkami, spojujícími jejich koncové body (jsou-li všechny tyto stěny pláště obdélníkové, jedná se o kolmý hranol, v opačném případě o hranol šikmý).
    • Když má čtyřboký kolmý hranol všechny stěny (obecně) obdélníkové, je to kvádr.

Pravidelné mnohostěny

Jestliže z každého vrcholu mnohostěnu vychází stejný počet hran a každá stěna je ohraničena stejným počtem hran, pak se mnohostěn označuje jako kombinatoricky pravidelný. Jsou-li navíc všechny stěny pravidelné mnohoúhelníky, pak říkáme, že mnohostěn je (metricky) pravidelný.

Pravidelný mnohostěn je tedy takový mnohostěn, jehož všechny stěny jsou shodné pravidelné mnohoúhelníky.

Existuje přesně pět pravidelných konvexních mnohostěnů. Všechny jsou známy již z antiky a souhrnně se nazývají Platónská tělesa.

Dodecahedron.jpg

Existují přesně čtyři pravidelné nekonvexní mnohostěny. Souhrnně se nazývají Keplerovy-Poinsotovy mnohostěny. Oproti klasické definici mnohostěnu neleží celá plocha každé stěny těchto těles na jejich povrchu, ale je „zanořena“ dovnitř. Pokud by se považovaly za stěny pouze viditelné části, nebyly by již tyto mnohostěny pravidelné.

  • malý hvězdicovitý dvanáctistěn
  • velký hvězdicovitý dvanáctistěn
  • velký dvanáctistěn
  • velký dvacetistěn


Duální mnohostěny

Dvanáctistěn a jeho duál

Ke každému mnohostěnu existuje mnohostěn duální. Ten vznikne umístěním vrcholů do „středů“ stěn původního mnohostěnu a jejich spojením hranami tak, že vrcholy ležící v sousedních stěnách původního mnohostěnu jsou v jeho duálu spojeny hranou.


Vztah ke grafům

Každý mnohostěn se vztahuje k právě jednomu grafu, jehož vrcholy a hrany odpovídají vrcholům a hranám mnohostěnu. Díky tomu je možné používat teorii grafů pro zkoumání mnohostěnů.


Odkazy

Související články

Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 21.11.2021 02:45:55 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.