cwiki.cz

Osová souměrnost



Osová souměrnost je typ geometrického zobrazení. Osová souměrnost zachovává vzdálenosti (i úhly), jedná se tedy o druh shodnosti.

Obsah


Definice

Osová souměrnost.

Osová souměrnost v rovině nebo prostoru s přímkou o jako osou (souměrnosti) je takové zobrazení, které zobrazuje prvky osy o na sebe samé a bod \({\displaystyle A}\) ležící mimo osu o s průmětem \({\displaystyle S}\) do osy o na bod \({\displaystyle A^{\prime }}\), který se nachází na polopřímce opačné k \({\displaystyle SA}\) ve stejné vzdálenosti od \({\displaystyle S}\) jako bod \({\displaystyle A}\) (tj. platí pro něj \({\displaystyle |SA|=|SA^{\prime }|}\)).

Útvar (ať již na přímce, v rovině nebo v prostoru) označujeme za osově souměrný, pokud je v nějaké osové souměrnosti obrazem sebe sama. Osu této souměrnosti pak nazýváme osou útvaru.

Osové souměrnosti v rovině jsou důležité, protože každá shodnost v rovině se dá složit z nejvýše tří osových souměrností.

Osovou souměrnost lze definovat i v euklidovském prostoru vyšších dimenzí, nazývá se pak obecně souměrnost podle přímky.


Příklady

Příklady os souměrnosti objektu
  • Úsečka má v rovině dvě osy souměrnosti - kolmici v jejím středu a přímku, na které úsečka leží. Přímka je osově souměrná, osou je libovolná různoběžná kolmice nebo přímka sama.
  • Rovnoramenný trojúhelník, který není rovnostranný, má jedinou osu souměrnosti, osu jeho základny.
  • Trojúhelník, který není rovnoramenný, není osově souměrný.
  • Všechny pravidelné mnohoúhelníky jsou osově souměrné. Počet různých os souměrnosti je roven počtu vrcholů mnohoúhelníka - například rovnostranný trojúhelník má tři osy souměrnosti, čtverec čtyři, pravidelný šestiúhelník šest.
  • Kruh (i kružnice) jsou příkladem útvarů s nekonečně mnoha osami souměrnosti - každá přímka (v jejich rovině) procházející středem je osou souměrnosti.
  • Hyperbola, elipsa i parabola jsou dalšími příklady osově souměrných rovinných útvarů.
  • Krychle, koule, kužel nebo válec jsou příkladem osově souměrného prostorového útvaru.
  • Jehlan je osově souměrný pouze za předpokladu, že jeho základna je středově souměrný rovinný útvar a jeho vrchol leží na kolmici na rovinu základny procházející středem souměrnosti základny.

Vlastnosti

Osová souměrnost je sama sobě inverzním zobrazením - složením dvou osových souměrností se stejnou osou vzniká identita. Osová souměrnost je tedy (jako každá souměrnost) involucí.

Osová souměrnost v rovině mění orientaci útvarů - pokud bylo pořadí vrcholů v trojúhelníku ve směru pohybu hodinových ručiček, pak pořadí jejich obrazů v osové souměrnosti je proti směru hodinových ručiček a naopak.

Osová souměrnost v (trojrozměrném) prostoru je zároveň otočením o 180 stupňů okolo stejné osy, takže je to přímá shodnost (přemístění) a orientaci zachovává.

Body ležící na ose souměrnosti jsou právě všechny její samodružné body. Všechny přímky kolmé k ose souměrnosti jsou samodružné.

Osová souměrnost v rovině má jen dva samodružné směry - směr její osy a směr k ní kolmý. V prostoru je rovněž samodružný směr osy a každý k ní kolmý.


Související články


Odkazy

  • POMYKALOVÁ E. a kol., 2010: Matematika pro gymnázia - Stereometrie. Praha: Prometheus.
  • BOČEK L., KOČANDRLE M., SEKANINA M., ŠEDIVÝ J., 1980. Geometrie II. Praha: SPN.




Zdroj


Poslední aktualizace: 21.11.2021 04:14:31 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.