cwiki.cz

Přirozené číslo



Přirozeným číslem (číslem z oboru přirozených čísel) se v matematice obvykle rozumí nezáporné celé číslo (0, 1, 2, 3, …),[1] které lze použít k vyjádření mohutnosti (konečné) množiny (viz kardinální číslo), resp. počtu nějakých předmětů. Zejména ve starší literatuře se nula mezi přirozená čísla nepočítala, což vychází z použití přirozených čísel pro vyjadřování pořadí (viz ordinální číslo). Přirozená čísla patří mezi základní matematické koncepty, a protože se považují za nejjednodušší na pochopení, začíná výuka matematiky obvykle od přirozených čísel.

Obsah


Značení

Množina přirozených čísel se označuje velkým písmenem N (nebo zdvojeným písmenem \({\displaystyle \mathbb {N} }\)).

Protože někteří autoři touto značkou označují kladná celá čísla a jiní nezáporná celá čísla, používají se také značení, která tuto nejednoznačnost vylučují:

  • pro nezáporná celá čísla (včetně nuly):
    • N0, resp. \({\displaystyle \mathbb {N} ^{0}}\), případně N0, resp. \({\displaystyle \mathbb {N} _{0}}\), nebo
    • Z+0, resp. \({\displaystyle \mathbb {Z} _{0}^{+}}\);
  • pro kladná celá čísla (bez nuly):
    • N+, resp. \({\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}\), nebo
    • Z+, resp. \({\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}\).

Formální definice

Exaktní matematické definice množiny přirozených čísel jsou založeny na následujících axiomech (tzv. Peanova aritmetika):

  • Existuje číslo 0.
  • Každé přirozené číslo a má následníka, označeného jako S(a).
  • Neexistuje přirozené číslo, jehož následníkem by byla 0.
  • Různá přirozená čísla mají různé následníky: pokud ab, pak S(a)S(b).
  • Pokud nějakou vlastnost splňuje jak číslo 0, tak i každé číslo, které je následníkem nějakého čísla, které tuto vlastnost splňuje, pak tuto vlastnost splňují všechna přirozená čísla. (Tento axiom zajišťuje platnost důkazů technikou matematické indukce.)

(Poznámka: Číslo 0 v těchto postulátech nemusí odpovídat běžnému výkladu přirozeného čísla nula. 0 v této formální definici znamená pouze nějaký objekt, který spolu s funkcí následnosti splňuje Peanovy axiomy.)


Konstrukce

Nejběžnější konstrukcí přirozených čísel v axiomatické teorii množin je následující postup:

  • Definuje se 0 = {}.
  • Definuje se S(a) = a {a} pro všechna a.
  • Množina přirozených čísel se pak definuje jako průnik všech množin obsahujících 0 a uzavřených vůči funkci následnosti.

Pomocí axiomu nekonečna lze dokázat, že tato definice splňuje Peanovy axiomy.

V této definici je každé přirozené číslo množinou čísel menších než ono, tedy:

\({\displaystyle 0=\{\}}\)
\({\displaystyle 1=\{0\}=\{\{\}\}}\)
\({\displaystyle 2=\{0,1\}=\{0,\{0\}\}=\{\{\},\{\{\}\}\}}\)
\({\displaystyle 3=\{0,1,2\}=\{0,\{0\},\{0,\{0\}\}\}=\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}}\)
…atd.

Tato definice souhlasí s intuitivním pojetím, že každé přirozené číslo n vyjadřuje mohutnost množiny o právě n prvcích.


Vlastnosti

  • Množina přirozených čísel je nekonečná (existuje nekonečně mnoho přirozených čísel), avšak spočetná (podle definice).
  • Na přirozených číslech lze definovat operaci sčítání takto: a + 0 = a, a + S(b) = S(a + b) pro všechna a, b. Tím se stane (N, +) komutativním monoidemneutrálním prvkem 0. Pokud definujeme S(0) = 1, je S(a) = S(a + 0) = a + S(0) = a + 1, tedy následníkem čísla a je číslo a + 1. Tento monoid je možné vnořit do grupy; nejmenší grupou obsahující přirozená čísla jsou celá čísla.
  • Obdobně lze s využitím operace sčítání definovat operaci násobení takto: a * 0 = 0, a * (b + 1) = (a * b) + a. Tím se stane (N, *) komutativním monoidem s neutrálním prvkem 1. Sčítání a násobení splňují distributivní zákon: a * (b + c) = (a * b) + (a * c). (N, +, *) je tedy komutativním polookruhem.
  • Na přirozených číslech lze definovat úplné uspořádání, kdy ab právě tehdy, když existuje přirozené číslo c tak, že a + c = b. Přirozená čísla jsou dobře uspořádaná, takže každá neprázdná množina přirozených čísel má nejmenší prvek.
  • Na přirozených číslech neexistuje operace dělení, neboť podíl dvou přirozených čísel obecně nemusí být přirozené číslo. Alternativou je tady dělení se zbytkem: pro libovolná dvě přirozená čísla a, b, kde b ≠ 0, můžeme najít taková přirozená čísla r a q, že platí a = bq + r a zároveň r < b. Číslu r pak říkáme zbytek po dělení čísla a číslem b, číslo q je celočíselný podíl a a b. Tato operace je základem mnoha vlastností (dělitelnost), postupů (Euklidův algoritmus) a idejí v teorii čísel. Na existenci a vlastnostech zbytků po dělení v přirozených číslech je založena jedna část kryptografie.

Reference

  1. Prvňáci a matematika VII. Číslo 0. clanky.rvp.cz [online]. [cit. 2018-11-20]. Dostupné online . (česky)

Související články


Externí odkazy





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 01:22:15 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.