cwiki.cz

Otočení


(přesměrováno z Rotace_(geometrie))


V geometrii představuje otočení neboli rotace v eukleidovské rovině geometrické zobrazení, které je charakterizováno tím, že spojnice všech bodů s pevně zvoleným bodem, tzn. středem otočení, se změní o stejný úhel a vzdálenost bodů od středu otáčení zůstává nezměněna.

Geometrické otočení.

Otočení v rovině kolem středu \({\displaystyle S}\) o (orientovaný) úhel \({\displaystyle \alpha }\) je tedy takové shodné zobrazení, při kterém je obrazem bodu \({\displaystyle A\neq S}\) bod \({\displaystyle A^{\prime }}\), pro který platí \({\displaystyle |SA|=|SA^{\prime }|}\) a velikost úhlu \({\displaystyle \angle ASA^{\prime }}\) je \({\displaystyle \alpha }\). Obrazem středu otočení \({\displaystyle S}\) je opět bod \({\displaystyle S}\).

Podobně se dá definovat rotace v třírozměrném prostoru jako otočení kolem jisté osy o pevný úhel. Tvar a velikost jednotlivých geometrických útvarů se při otočení nemění. Při otočení se také nemění dimenze otáčeného geometrického útvaru.

Otočení se řadí mezi shodná zobrazení.


Matice rotace

Rotace v dvourozměrné Eukleidově rovině kolem počátku souřadnic o úhel \({\displaystyle \alpha }\) je dána vztahy

\({\displaystyle x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha }\)
\({\displaystyle y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha }\).

Čárkované souřadnice \({\displaystyle x',y'}\) jsou souřadnice otočeného bodu, který měl před otočením souřadnice \({\displaystyle x,y}\). Podobně rotace v třírozměrném Eukleidově prostoru o úhel \({\displaystyle \alpha }\) kolem osy \({\displaystyle z}\) je dáno vztahem

\({\displaystyle x^{\prime }=x\cos \alpha -y\sin \alpha }\)
\({\displaystyle y^{\prime }=x\sin \alpha +y\cos \alpha }\)
\({\displaystyle z^{\prime }=z}\)

Obecná rotace v prostoru se dá zapsat ve vektorovém tvaru \({\displaystyle \mathbf {x'} =A\mathbf {x} }\) kde \({\displaystyle A}\) je ortogonální matice.

Matice rotace kolem osy \({\displaystyle \mathbf {n} =(n_{1},n_{2},n_{3})^{T}}\), kde \({\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}\), o úhel \({\displaystyle \alpha }\) je

\({\displaystyle {\begin{array}{rl}A&={\begin{pmatrix}\cos \alpha +n_{1}^{2}(1-\cos \alpha )&n_{1}n_{2}(1-\cos \alpha )-n_{3}\sin \alpha &n_{1}n_{3}(1-\cos \alpha )+n_{2}\sin \alpha \\n_{1}n_{2}(1-\cos \alpha )+n_{3}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{2}^{2}(1-\cos \alpha )&n_{2}n_{3}(1-\cos \alpha )-n_{1}\sin \alpha \\n_{1}n_{3}(1-\cos \alpha )-n_{2}\sin \alpha &n_{2}n_{3}(1-\cos \alpha )+n_{1}\sin \alpha &\cos \alpha +n_{3}^{2}(1-\cos \alpha )\end{pmatrix}}\\\;&\;\\&=(1-\cos \alpha )\mathbf {n} \mathbf {n} ^{T}+\cos \alpha \,I+\sin \alpha {\begin{pmatrix}0&-n_{3}&n_{2}\\n_{3}&0&-n_{1}\\-n_{2}&n_{1}&0\end{pmatrix}},\end{array}}}\)

kde \({\displaystyle I}\) jednotkovou matici řádu tři. Množina všech takových matic tvoří speciální ortogonální grupu \({\displaystyle SO(3)}\).


Rotace souřadnic

Někdy se předpokládá, že se objekty v prostoru nezměnily, ale otočil se "pozorovatel", což odpovídá změně souřadnic. Změna souřadnic, která je dána stejným vzorcem jako rotace v prostoru, se nazývá rotace souřadnic, anebo ortogonální transformace souřadnic. Pokud \({\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}\) jsou staré souřadnice a \({\displaystyle x_{1}',\ldots ,x_{n}'}\) nové souřadnice nějakého bodu nebo vektoru které vznikly rotací, pak platí

\({\displaystyle \sum x_{i}^{2}=\sum (x_{i}')^{2}.}\)

Rotace souřadnic o úhel \({\displaystyle \varphi }\) kolem nějaké osy je dáno stejným vzorcem jako geometrická rotace prostoru kolem stejné osy o opačný úhel.


Související články





Zdroj


Poslední aktualizace: 21.11.2021 04:48:08 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.