• 1 Způsob zápisu
• 2 Definice
• 3 Vlastnosti
• 4 Příklady skalárních součinů
• 5 Příklad výpočtu skalárního součinu
• 6 Související články

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

• \({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }\) – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
• \({\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }\) – značení běžné ve funkcionální analýze.
• \({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\) – starší značení, dnes již méně používané.
• \({\displaystyle b\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\) – b jako bilineární forma
• \({\displaystyle \langle \mathbf {v} \mid \mathbf {u} \rangle }\) – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×V → T  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna \({\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}\) a všechna \({\displaystyle a\in T}\) následující podmínky:

1. \({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}\)
2. \({\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}\)
3. \({\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\)
4. \({\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0}\)
5. \({\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0} }\)

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  \({\displaystyle {\overline {x}}=x.}\)

• v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.

\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}\)

• ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí

\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}\)

• pro komplexní a platí

\({\displaystyle (\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\)

• vektory u, v nazýváme ortogonálními vektory, pokud splňují vztah

\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}\)

• jestliže množina \({\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}\) vyhovuje vztahu

\({\displaystyle (\mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k})=\delta _{jk}}\),  kde \({\displaystyle \delta _{jk}}\) je Kroneckerovo delta,

pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.

Geometrická interpretace skalárního součinu.

• pomocí skalárního součinu lze definovat normu vektoru, tzv.

norma generovaná skalárním součinem:

\({\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}\)

• z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů u, v součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.

\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\,\|\mathbf {v} \|\cos \alpha }\),

kde \({\displaystyle \alpha }\) je úhel, který svírají vektory u, v.

• pro dva vektory \({\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i},\,\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}\)

(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako

\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}\),

kde \({\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}\) je metrický tenzor (v tomto případě matice).

• skalární součin funkcí \({\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}dx}\)   (meze integrace jsou obvykle \({\displaystyle 0,\pm \infty ,\pm 1}\))

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

\({\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}\).

• Vektor
• Vektorový součin
• Smíšený součin