cwiki.cz

Skalární součin



Skalární součin je v matematice zobrazení, které dvojici vektorů přiřadí číslo (skalár), které má vztah k velikosti těchto vektorů, k tzv. ortogonalitě a případně k úhlu, který svírají. Formálně se skalární součin definuje na reálném nebo komplexním vektorovém prostoru V jako binární zobrazení

\({\displaystyle V\times V\to \mathbb {R} }\)    resp.   \({\displaystyle V\times V\to \mathbb {C} }\),    kde \({\displaystyle V}\) je vektorový prostor nad číselným tělesem \({\displaystyle \mathbb {R} }\) resp. \({\displaystyle \mathbb {C} }\),

splňující jisté vlastnosti.

Nejběžnější příklad skalárního součinu je v trojrozměrném eukleidovském prostoru zobrazení dané vzorcem

\({\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \alpha }\),

kde \({\displaystyle \alpha }\) je úhel sevřený vektory a a b.

Obsah


Způsob zápisu

Nejběžnější způsoby zápisu skalárního součinu vektorů u, v jsou:

  • \({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }\) – značení používané hlavně v prostorech konečné dimenze. Jedná se o podobné značení jako u násobení matic, což je v určitých ohledech podobná operace.
  • \({\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }\) – značení běžné ve funkcionální analýze.
  • \({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\) – starší značení, dnes již méně používané.
  • \({\displaystyle b\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\) – b jako bilineární forma
  • \({\displaystyle \langle \mathbf {v} \mid \mathbf {u} \rangle }\) – při použití Diracovy notace v kvantové mechanice

Definice

Jsou dány číselné těleso T a vektorový prostor V nad tímto tělesem. Zobrazení V×VT  je skalárním součinem, jestliže splňuje pro všechna \({\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in V}\) a všechna \({\displaystyle a\in T}\) následující podmínky:

  1. \({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}\)
  2. \({\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {w} )=(\mathbf {u} ,\mathbf {w} )+(\mathbf {v} ,\mathbf {w} )}\)
  3. \({\displaystyle (a\,\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=a\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\)
  4. \({\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )\geq 0}\)
  5. \({\displaystyle (\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=0\iff \mathbf {v} =\mathbf {0} }\)

Pruhem je označeno komplexní sdružení. Pro reálná čísla platí  \({\displaystyle {\overline {x}}=x.}\)


Vlastnosti

  • v reálném vektorovém prostoru je skalární součin komutativní, tzn.
\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}\)
  • ve vektorovém prostoru nad tělesem komplexních čísel platí
\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )={\overline {(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )}}}\)
  • pro komplexní a platí
\({\displaystyle (\mathbf {u} ,a\,\mathbf {v} )={\overline {a}}\,(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )}\)
\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}\)
  • jestliže množina \({\displaystyle \{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\dots ,\mathbf {e} _{n}\}}\) vyhovuje vztahu
\({\displaystyle (\mathbf {e} _{j},\mathbf {e} _{k})=\delta _{jk}}\),  kde \({\displaystyle \delta _{jk}}\) je Kroneckerovo delta,
pak tyto vektory označujeme jako ortonormální.
Geometrická interpretace skalárního součinu.
norma generovaná skalárním součinem:
\({\displaystyle \|\mathbf {v} \|={\sqrt {(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )}}}\)
  • z geometrického hlediska představuje skalární součin vektorů uv součin velikosti vektoru u a velikosti průmětu v do směru vektoru u, tzn.
\({\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =\|\mathbf {u} \|\,\|\mathbf {v} \|\cos \alpha }\),
kde \({\displaystyle \alpha }\) je úhel, který svírají vektory u, v.

Příklady skalárních součinů

  • pro dva vektory \({\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u^{i}\mathbf {e} _{i},\,\mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}v^{i}\mathbf {e} _{i}}\)
(zapsané v nějaké jedné pevně zvolené bázi) lze skalární součin definovat jako
\({\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum _{i,j=1}^{n}(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})u^{i}{\overline {v^{j}}}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}u^{i}{\overline {v^{j}}}}\),
kde \({\displaystyle g_{ij}=(\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j})}\) je metrický tenzor (v tomto případě matice).
  • skalární součin funkcí \({\displaystyle (f,g)=\int _{a}^{b}f(x)\cdot {\overline {g(x)}}dx}\)   (meze integrace jsou obvykle \({\displaystyle 0,\pm \infty ,\pm 1}\))

Příklad výpočtu skalárního součinu

Mějme dva trojrozměrné vektory a = (1,2,3), b = (4,5,6). Potom jejich skalární součin je

\({\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=1\cdot 4+2\cdot 5+3\cdot 6=32}\).

Související články





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 04:56:35 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.