cwiki.cz

Zobrazení (matematika)



Zobrazení je v matematice předpis, kterým se prvkům určité množiny X přiřazuje nejvýše jeden prvek množiny Y. Přesněji mluvíme o zobrazení z množiny X do množiny Y. Pokud X=Y, mluvíme o zobrazení na množině. Ve speciálním případě, když je Y libovolná číselná množina, zobrazení nazýváme funkcí. Je-li prvku x množiny X přiřazen prvek y množiny Y, pak říkáme, že x je vzorem a y je obrazem.

Zobrazení, které přiřazuje vybarveným geometrickým tvarům barvu jejich výplně.

Matematicky je zobrazení speciálním případem binární relace, u které má každý vzor nejvýše jeden obraz.

Obsah


Zobrazení z množiny do množiny

Nejobecnějším z hlediska množin, do kterých náleží vzory a obrazy, je zobrazení z množiny do množiny.

Definice[1]

Zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) je taková binární relace, pro kterou platí, že ke každému prvku \({\displaystyle x\,\!}\) množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) přiřazuje nejvýše jeden takový prvek \({\displaystyle y\,\!}\) množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) tak, že \({\displaystyle [x,y]\in f}\).

Značení[1]

\({\displaystyle y=f(x)\,\!}\) nebo \({\displaystyle f:x\mapsto y\,\!}\)

Důležité pojmy[1]
  • Prvek \({\displaystyle y=f(x)\in {\mathcal {B}}}\) se nazývá obrazem prvku \({\displaystyle x\,\!}\) v zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) nebo také hodnotou zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) v bodě \({\displaystyle x\,\!}\). Podobně obraz množiny \({\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq {\mathcal {A}}}\) v zobrazení \({\displaystyle f}\) je množina \({\displaystyle {\mathcal {Y}}\subseteq {\mathcal {B}}}\), na kterou se zobrazí \({\displaystyle {\mathcal {X}}}\): \({\displaystyle {\mathcal {Y}}=f({\mathcal {X}})}\)
  • Prvek \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\) se nazývá vzorem prvku \({\displaystyle y=f(x)\,\!}\) v zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\). Podobně vzor množiny \({\displaystyle {\mathcal {Y}}}\) v zobrazení \({\displaystyle f}\) je množina \({\displaystyle {\mathcal {X}}\subseteq {\mathcal {A}}}\) obsahující všechny prvky, které se do množiny \({\displaystyle {\mathcal {Y}}}\) zobrazí; značí se \({\displaystyle {\mathcal {X}}=f^{-1}({\mathcal {Y}})}\)
  • Množina právě těch prvků \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\), pro které existuje prvek \({\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}\), že \({\displaystyle y=f(x)\,\!}\), se nazývá definičním oborem zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) (též zkráceně oborem zobrazení či úplným vzorem zobrazení). Je to tedy množina všech vzorů. Značí se zpravidla jednou ze značek \({\displaystyle D(f)={\mathcal {D}}_{f}=\mathrm {dom} \ f=\mathrm {dom} (f)\,\!}\).
  • Množina právě těch prvků \({\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}\), pro které existuje aspoň jeden takový prvek \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\), že \({\displaystyle f(x)=y\,\!}\), se nazývá oborem hodnot zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) (též úplným obrazem zobrazení). Je to tedy množina všech obrazů, respektive obraz celého definičního oboru. Značí se zpravidla jednou ze značek \({\displaystyle H(f)={\mathcal {H}}_{f}={\mathcal {R}}_{f}=\mathrm {rng} \ f=\mathrm {rng} (f)=f(D(f))=f({\mathcal {D}}_{f})}\).

V teorii množin se tedy zobrazení definuje jako binární relace \({\displaystyle f\,\!}\) splňující podmínku existence a jednoznačnosti:

\({\displaystyle \forall x\in D(f):\exists y([x,y]\in f)\ \land \ \forall (y_{1},y_{2})(([x,y_{1}]\in f\ \land \ [x,y_{2}]\in f)\Rightarrow y_{1}=y_{2})}\).

Typy zobrazení

Podle pokrytí výchozí a cílové množiny

Zobrazení v množině[1]

Zobrazení v množině \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) je takové zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pro které \({\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}\), tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení množiny do množiny[1][2]
\({\displaystyle f:X\rightarrow Y}\). Žlutý ovál uvnitř \({\displaystyle Y}\) je obor hodnot.

Zobrazení množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) je takové zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pro které \({\displaystyle D(f)={\mathcal {A}}}\). Definičním oborem je tedy celá výchozí množina. Tedy ke každému prvku \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\) existuje (právě jeden) takový prvek \({\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}\), že \({\displaystyle y=f(x)\,\!}\).

Značí se: \({\displaystyle f:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}\)

Zobrazení z množiny na množinu[1]

Zobrazení z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) na množinu \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) neboli surjektivní zobrazení (surjekce) je takové zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pro které \({\displaystyle H(f)={\mathcal {B}}}\). Zobrazuje tedy definiční obor na celou cílovou množinu. Tedy ke každému prvku \({\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}\) existuje aspoň jeden takový prvek \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\), že \({\displaystyle f(x)=y\,\!}\).

Zobrazení množiny na množinu[1][2]

Zobrazení množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) na množinu \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) je takové zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pro které \({\displaystyle D(f)={\mathcal {A}}\land H(f)={\mathcal {B}}}\). Tedy ke každému prvku \({\displaystyle x\in {\mathcal {A}}}\) existuje právě jeden takový prvek \({\displaystyle y\in {\mathcal {B}}}\), že \({\displaystyle y=f(x)\,\!}\), a ke každému prvku \({\displaystyle y'\in {\mathcal {B}}}\) existuje aspoň jeden takový prvek \({\displaystyle x'\in {\mathcal {A}}}\), že \({\displaystyle f(x')=y'\,\!}\).

Zobrazení na množině[1]

Zobrazení na množině \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) je takové zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\) množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) na množinu \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pro které \({\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {B}}}\), tedy výchozí a cílová množina jsou totožné.

Zobrazení prosté, vzájemně jednoznačné a inverzní

Prosté zobrazení[1][2]

Zobrazení f z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) se nazývá prosté neboli injektivní zobrazení (injekce), právě když každé dva různé vzory \({\displaystyle x_{1},x_{2}\ \in D(f)}\) mají různé obrazy \({\displaystyle y_{1}=f(x_{1}),y_{2}=f(x_{2})\in H(f)\,\!}\):

\({\displaystyle \forall [x_{1},y_{1}],[x_{2},y_{2}]\in f:x_{1}\neq x_{2}\ \Rightarrow \ y_{1}\neq y_{2}}\)
Vzájemně jednoznačné zobrazení[1]

Vzájemně jednoznačné zobrazení množin \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) a \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) neboli bijektivní zobrazení (bijekce) je prostým zobrazením množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) na množinu \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), je tedy injektivní a surjektivní zároveň.

Značí se: \({\displaystyle f:{\mathcal {A}}\leffloat_rightarrow {\mathcal {B}}}\)

Inverzní zobrazení[1][2]

Je-li \({\displaystyle f\,\!}\) prosté zobrazení z množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\), pak zobrazení \({\displaystyle f^{-1}\,\!}\) z množiny \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) do množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\), které každému \({\displaystyle y\in H(f)\,\!}\) přiřazuje ten prvek \({\displaystyle f^{-1}(y)=x\in D(f)\,\!}\), pro nějž \({\displaystyle y=f(x)\,\!}\), se nazývá inverzní zobrazení k zobrazení \({\displaystyle f\,\!}\). Jeho definičním oborem je tedy \({\displaystyle D(f^{-1})=H(f)\,\!}\) a platí \({\displaystyle f^{-1}(y)=x\Leffloat_rightarrow f(x)=y}\).

Podle druhu vzorů a obrazů

Například:

  • Posloupnost je zobrazení z množiny přirozených čísel (zpravidla do jiné číselné množiny, v obecném smyslu i do jiných druhů objektů) – vzor udává pořadí obrazu.
  • Funkce (reálné či komplexní proměnné) je zobrazení v množině reálných či komplexních čísel.
  • Vektorová, tenzorová resp. maticová funkce je zobrazení z množiny (vektorového prostoru) vektorů, tenzorů resp. matic.
  • Funkcionál zobrazuje funkci na číslo.
  • Operátor - funkci přiřazuje funkci.
  • Třídové zobrazení - vzory i obrazy jsou množiny či třídy.

Další speciální typy

Například:


Příklad zobrazení

Příklady (popis v článku)

Mějme množiny \({\displaystyle {\mathcal {A}}=\{1,2,3,4\}}\) a \({\displaystyle {\mathcal {B}}=\{a,b,c,d\}}\). Můžeme například definovat zobrazení \({\displaystyle f:{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}\) jako

  • \({\displaystyle 1\rightarrow a}\)
  • \({\displaystyle 2\rightarrow c}\)
  • \({\displaystyle 3\rightarrow d}\)
  • \({\displaystyle 4\rightarrow c}\)

Oborem hodnot \({\displaystyle {\mathcal {R}}_{f}=f({\mathcal {A}})}\) je tedy množina \({\displaystyle \{a,c,d\}}\). Vzorem množiny \({\displaystyle \{c\}}\) je množina \({\displaystyle \{2,4\}}\). Jeden prvek v \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\) tedy může mít více než jeden vzor v \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\). Ale každý prvek \({\displaystyle {\mathcal {A}}}\) se zobrazí na právě jeden prvek v \({\displaystyle {\mathcal {B}}}\).

Na obrázku jsou uvedeny příklady vztahů \({\displaystyle A\rightarrow B}\).

  • Na a) je příklad, kdy se nejedná o zobrazení.
  • Na b) je příklad prostého zobrazení množiny \({\displaystyle A}\) do množiny \({\displaystyle B}\).
  • Na c) je vzájemně jednoznačné zobrazení \({\displaystyle A}\) na \({\displaystyle B}\).
  • Na d) je zobrazení, které není prosté.

Víceznačné zobrazení

Jak vyplývá z uvedené definice zobrazení, název víceznačné zobrazení je matematický oxymóron. Pojem se ale běžně užívá pro relaci, kde každému vzoru odpovídá alespoň jeden obraz. Víceznačné zobrazení

\({\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {B}}}\)

lze převést na běžné jednoznačné zobrazení do potenční množiny B

\({\displaystyle {\mathcal {A}}\rightarrow 2^{\mathcal {B}}}\)[3]

Víceznačná zobrazení jsou poměrně přirozený způsob, jak se vypořádat s inverzí od zobrazení, které není prosté. Například

\({\displaystyle y=\pm {\sqrt {x}}}\)

Reference

  1. a b c d e f g h i j k BARTSCH, Hans-Jochen, 1983. Matematické vzorce. Překlad TICHÝ, Zdeněk. 1. české (podle 17. originálního). vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury. 832 s. 04-020-83. Kapitola 0.4.6 Zobrazení, operace, funkce, s. 83–86.
  2. a b c d REKTORYS, Karel, a kol. Přehled užité matematiky. 4.. vyd. Praha: SNTL – Nakladatelství technické literatury, 1981. 1140 s. 04-003-81. Kapitola 1.23 Pojem množiny a pojem zobrazení, s. 73.
  3. Bartsch 1983, s. 87.

Související články





Zdroj


Poslední aktualizace: 20.11.2021 02:56:59 CET

Zdroj: Wikipedia (autoři [Dějiny])    Licence textu: CC-BY-SA-3.0. Autory a licence jednotlivých obrázků a médií najdete buď v popisku, nebo si je můžete zobrazit kliknutím na obrázek.

Změny: Byly přepsány prvky designu. Byly odstraněny odkazy specifické pro Wikipedii (např. "Redlink", "Edit-Links"), mapy a navigační pole. Také některé šablony. Ikony byly nahrazeny jinými ikonami nebo odstraněny. Externí odkazy získaly další ikonu.

Důležité upozornění Vzhledem k tomu, že daný obsah byl v daném čase automaticky převzat z Wikipedie, ruční kontrola nebyla a není možná. Proto cwiki.cz nezaručuje přesnost a aktuálnost převzatého obsahu. Pokud by se mezitím objevily chybné informace nebo chyby v zobrazení, prosíme vás, abyste nás kontaktovali: e-mail.
Viz také: Tiráž & Ochrana dat.